此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 北师大版高中数学必修 5 第一章《数列》全部教案 第一课时 1.1.1 数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能： 理解数列及其有关概念； 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出 数列的任意一项； 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。 2 、过程与方法： 采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行 启发式教学； 发挥学生的主体作用，作好探究性学习； 理论联系实际，激发学生的学习 积极性。 3 、情感态度与价值观： . 通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验 . 理论联系实际， 激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度， 培养学生的辩证唯物主义观点； . 通过本 节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 . 二、教学重点： 数列及其有关概念，通项公式及其应用 . 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 . 三、教学方法： 探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 、揭示课题 : 今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有 100 根，在其上一层码放了 99 根，第三层码放了 98 根，依此类推，问：最多可放多少层？第 57 层有多少 根？从第 1 层到第 57 层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究， 找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． 、推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试 . 生 一般折 5、6 次就不能折下去了，厚度太高了 . 师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为 1 长度单位，面积为 1 面积单位，随依次折的 次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 生 随着对折数厚度依次为 :2 ，4， 8， 16，…， 256，…；① 1 1 1 1 1 随着对折数面积依次为 , , , , …, , …. 2 4 8 16 256 生 对折 8 次以后，纸的厚度为原来的 256 倍，其面积为原来的 分 1[]256 式 ，再折下去太困难 师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化 . 请同学们观察上面我们列出的这一 列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数 . 生 还有一定次序 . 师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数 . ［教师精讲］ 1. 数列的定义： 按一定顺序排列着的一列数叫做数列 . 注意： 数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列 中可以重复 出现 . 2. 数列的项： 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项 ， 第 2 项，…，第 n 项，… . 同学们能举例说明吗？ 生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“ 2”是这个数列的第 1 项 ，“ 16”是这个数 列中的第 4 项 . 为表述方便给出几个名称：项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 . 首项 其中数列的第一项也称首项 . 通项 数列的第 n 项叫数列的通项． 以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数 列的一些项的项数． 由此可以看出， 给定一个数列， 应能够指明第一项是多少， 第二项是多少， ……， 每一项都是确定的， 即指明项数， 对应的项就确定． 所以数列中的每一项与其项数有着对应关系， 这与我们学过的函数有密切关系． 3. 数列的分类： 1) 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列 . 例如数列 1，2 ，3 ，4，5 ，6 是有穷数列 . 无穷数列：项数无限的数列 . 例如数列 1，2 ，3 ，4，5 ，6…是无穷数列 . 2) 根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列 . 递减数列： 从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列 . 常数数列：各项相等的数列 . 摆动数列：从第 2 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 . 请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是 递增数列， 递增数列， 常数数列， 递减数列， 摆动数列， 1. 递增数列， 2. 递减数列 . 4、通项公式法 : 如数列 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 数列的通项公式具有双重身份， 它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表 示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了， 代入项数就可求出数列的每一项． 例如，数列 的通项公式 ，则 ． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即 便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］ 师 你能说出上述数列①中的 256 是这数列的第多少项？能否写出它的第 n 项？ 生 256 是这数列的第 8 项，我能写出它的第 n 项，应为 an=2 . ［例题剖析］ 例 1. 根据下面数列 { a } 的通项公式，写出前 5 项： n n an an n = ; = · . n 1 师 由通项公式定义可知， 只要将通项公式中 n 依次取 1，2 ，3，4 ，5，即可得到数列的前 5 项 . 1 2 3 4 5 生 解： n=1,2,3,4,5. a1= ; a2= ; a3= ; a4 = ; a5= . 2 3 4 5 6 n=1,2,3,4,5. a1=-1; a2=2; a3 =-3; a4 =4; a5=-5. 师 好！就这样解 . 例 2. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： 2 4 6 8 10 3 ，5，7，9 ， 11，…； ， ， ， ， ，…； 3 15 35 63 99 0 ， 1，0， 1，0 ，1，…； 1 ，3 ，3， 5，5，7 ，7，9，9 ，…； 2 ，-6 ，12，-20 ，30 ，-42 ，…. 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？ 生老师，我写好了！ 2n 1 n n n 解： a ＝2n＋ 1； a ＝ ； a ＝ ； 2 1 将数列变形为 1＋0，2＋ 1，3＋0 ，4＋ 1，5 ＋0，6 ＋ 1，7 ＋0 ，8＋ 1，…， ∴ n ＝ ＋ ； a n n+1 将数列变形为 1×2， - 2 ×3， 3 ×4，- 4 ×5，5 ×6，…， ∴a ＝ n. 师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规 律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 . 、学生课堂练习： 课本本节练习 1、2 、3、4 补充题：已知数列 { a 2 n} 的通项公式是 an=2n -n ，那么 n n A.30 是数列 { a } 的一项 B.44 是数列 { a } 的一项 C.66 是数列 { a } 的一项 D .90 是数列 { a } 的一项 n n 分析：注意到 30，44 ，66 ，90 均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这 四个数中的某一个， 则问题就可以解决了 .若出现的数比较大， 还可以用解方程求正整数解的方法 加以解决 . 答案： C 点评： 看一个数 A 是不是数列 { an} 中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数 n，使 得 an=A . 、课堂小结： 对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项， 并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式。 、布置作业 课本习题 1-1A 组 1、 2、3 、4 。 五、教后反思： 第二课时 1.1.2 数列的函数特性 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 一、教学目标 1、知识与技能： 了解数列的概念和几种简单的表示方法 ；理解数列是 一种特殊的函数； 2、过程与方法： 通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法 ；3 、情态与价值： 体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来 研究有关数列的问题， 可以进一步让学生体会数学知识间的联系， 培养用已知去研究未知的能力。 二、教学重点： 理解数列的概念， 探索并掌握数列的几种间单的表示法 。 难点： 了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。 三、教学方法： 讲授法为主 四、教学过程 、导入新课 师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什 么叫数列的通项公式？ 生 如果数列 { an} 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数 列的通项公式 . 师 你能举例说明吗？ 生 如数列 0， 1，2 ，3， … 的通项公式为 a * n=n-1; n ,1 ≤n≤ 3); 1,1,1 的通项公式为 a =1. 2 3 4 n 1 1 教师进一步启发上面数列 an =n-1 、an= 与函数 f x 1,f 有什么关系？你能用图象 n x 直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。 新知探究 1、数列与函数的关系： 数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值， 数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ． 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列． ［合作探究］ 同学们看数列 2，4 ，8 ， 16，…， 256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？ 生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N 的函数 an=f ， 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 . 反过来，对于函数 y =f ，如果 f 有意义，那么我们可以得到一个数列 f , f , f , …,f , …. 师 说的很好 . 如果数列 { an} 的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就 叫做这个数列的通项公式 . ［合作探究］ 师 函数与数列的比较 ： 函数 数列 定义域 R 或 R 的子集 N或它的有限子集 {1 ，2，…， n} 解析式 y=f a =f 图象 点的集合 一些离散的点的集合 师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来 画出其对应图象，下面同学们练习画数列 : 1 1 1 4，5 ，6，7，8 ，9 ，10…; ② 1, , , , …③的图象 . 2 3 4 生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为 师 数列 4，5，6 ，7，8 ，9 ， 10, …②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数 y=x+3 的图象有关 . 1 1 1 师 数列 1, , , , …③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 2 3 4 生 与我们学过的反比例函数 y 的图象有关 . 师 这两数列的图象有什么特点？ 生 其特点为：它们都是一群孤立的点 . 生 它们都位于 y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于 y 轴的右侧 的点 . 2、数列的表示法 数列可看作特殊的函数， 其表示也应与函数的表示法有联系， 首先请学生回忆函数的表示法： 列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第 一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 列举法 : ．简记为 ． 一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法． 图示法 : 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形． 具体方法是以项数 为横坐标， 相应 的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点 ，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为 正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看 到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一 个函数的函数值与自变量之间的数量关系， 类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来， 即 ，这个函数式叫做数列的通项公式． 通项公式法 : 如数列 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 数列的通项公式具有双重身份， 它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表 示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了， 代入项数就可求出数列的每一项． 例如，数列 的通项公式 ，则 ． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即 便有通项公式，通项公式也未必唯一． 除了以上三种表示法， 某些数列相邻的两项 有关系， 这个关系用一个公式来表示， 叫做递推公式． 递推公式法 : 如前面所举的钢管的例子，第 层钢管数 与第 层钢管数 的关 系 是 ， 再 给 定 ， 便 可 依 次 求 出 各 项 ． 再 如 数 列 中 ， ，这个数列就是 ． 像这样，如果已知数列的第 1 项 ，且任一项与它的前一项间的关系用 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含 两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解． 、例题探析 1 2 3 n ··· ···； 例 1、判断下列无穷数列的增减性。 2,1,0 ，-1 ， ，3-n, , , ,ggg, ,ggg。 2 3 4 n 1 学生探究交流，教师准对问题讲评并引导学生归纳方法。 【答案：递减数列； 递增数列】 1 1 1 1 1 n 例 2、作出数列 , , , ,K K , ，…的图像，并分析数列的增减性。 2 4 8 16 2 O 1 2 3 4 5 X 解析：如图是这个数列的图象，数列各项的值正负相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动， 它既不是递增的，也不是递减的。 、学生练习： 课本本节练习 1、2 、课堂小结： 1、探究结论； 2、数列与函数有什么关系？ 、作业布置： 习题 1-1 A 组第 5、 6、7 题 五、教后反思： 第三课时 数列的概念 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公 式写出数列的前几项；理解数列的前 n 项和与 a n 的关系 2 、过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。 3 、情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 二、教学重点： 根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 三、教学过程 Ⅰ. 课题导入 [ 复习引入 ] 数列及有关定义 Ⅱ. 讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法 如果数列 a n 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式。 如数列 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 2、 图象法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形． 具体方法是以项数 为横坐标， 相应的项 为 纵坐标， 即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点 ，所得的数列的图形是一群孤立的点， 因为横坐标为正整数， 所以这些点都 在 轴的右侧， 而点的个数取决于数列的项数． 从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到 大变化而变化的趋势． 3、 递推公式法 知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题． 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一： 自上而下： 第 1 层钢管数为 4；即： 1 4＝1+3 第 2 层钢管数为 5；即： 2 5＝2+3 第 3 层钢管数为 6；即： 3 6＝3+3 第 4 层钢管数为 7；即： 4 7 ＝4+3 第 5 层钢管数为 8；即： 5 8 ＝5+3 第 6 层钢管数为 9；即： 6 9 ＝6+3 第 7 层钢管数为 10；即： 7 10＝7+3 若用 a n 表示钢管数， n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 an n 3 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列 表法， 图象法， 解析式法． 相对于列表法表示一个函数， 数列有这样的表示法： 用 表示第一项， 用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 4、列表法 ．简记为 ． [ 范例讲解 ] a 1 例 3 设数列 an 满足 1 写出这个数列的前五项。 an 1 . an 1 解：分析：题中已给出 an 的第 1 项即 a1 1 ，递推公式： an 1 a n 1 1 1 2 1 5 8 解：据题意可知： a1 1,a2 1 2, a3 1 ， a4 1 , a5 a1 a2 3 a3 3 5 [ 补充例题 ] 例 4 已知 a1 2 ， an 1 2a n 写出前 5 项，并猜想 an ． 法一： a1 2 a2 2 2 22 a3 2 22 23 ，观察可得 an 2 n 法二：由 a n 1 2 an ∴ a n 2an 1 即 n 2 an 1 a n a n 1 an 2 a2 n 1 ∴ 2 a n 1 a n 2 a n 3 a1 n 1 n ∴ an a1 2 2 Ⅲ . 课堂练习： 课本 P36 练习 2 [ 补充练习 ] 1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 a1 ＝0, a n 1 ＝ an ＋ ； a ＝1, a ＝ n ； 1 n 1 an 2 a ＝3, a ＝3 a －2 . 1 n 1 n 解： a1 ＝0, a2 ＝1, a3 ＝4, a4 ＝9, a5 ＝16, ∴ a n ＝ ; 2 1 2 2 1 2 2 a1 ＝1, a2 ＝ , a3 ＝ , a4 ＝ , a5 ＝ , ∴ an ＝ ; 3 2 4 5 3 6 n 1 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 0 1 2 a ＝3 ＝1+2 3 , a ＝7＝1+2 3 , a ＝19＝1+2 3 , 1 2 3 3 4 n 1 a4 ＝55 ＝1+2 3 , a5 ＝163＝1+2 3 , ∴ a n ＝1＋2 ·3 ; Ⅳ . 课时小结： 本节课学习了以下内容： 1．递推公式及其用法； 2．通项公式反映的是项与项数 之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项之间的关系 . 3 ． an 的定义及与 n 之间 Ⅴ. 课后作业： 习题 2.1A 组的第 4、6 题 作业： P9 第 4 题 四、教后反思： 第四课时 §1.2.1 等差数列 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 一、教学目标 1．知识与技能 : 通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的 问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的 2. 过程与方法 : 让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差 数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式 应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的 3．情态与价值 : 培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 二、教学重点： 理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决 一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点： 概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 三、学法： 引导学生首先从四个现实问题概括出 数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以 用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 四、教学过程 、创设情景 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这 些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先 学习一类特殊的数列。 新知探究 、引导观察数列： 0， 5，10， 15，20 ，…… ① ； 48 ，53 ，58 ，63 ② 18， 15.5 ，13， 10.5 ，8， 5.5 ③； 10 072 ， 10 144 ， 10 216 ， 10 288 ， 10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？ 引导学生观察相邻两项间的关系， 得到： 对于数列①， 从第 2 项起， 每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第 2 项起， 每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 72 ； 由学生归纳和概括出， 以上四个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 。 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 等差数列的概念 : 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。 请同学们根据我们刚才分析等差数列 的特征，尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公 差依次是 5，5，-2.5 ，72 。 、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 1．名称：等差数列，首项 1 ， 公差 ；2．若 d 0 则该数列为常数列； 3．寻求等差数列的通项公式： a2 a1 d a3 a2 d d a1 2d a4 a3 d d a1 3d 由此归纳为 an a1 d 当 n 1时 a1 a1 注意 : 1 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数； 2 如果通项公式是关于 n 的一次函数， 则该数列成等差数列； 证明： 若 an An B A A B A 它是以 A B 为首项， A 为公 差的 AP。 3 公式中若 d 0 则数列递增， d 0 则数列递减； 4 图象： 一条直线上的一群孤立点得出通项公式： a { a } a a d 以 1 为首项， d 为公差的等差数列 n 的通项公式为： n 1 ；知等差数列 的首项 a1 和公差 d，那么这个等差数列的通项 an 就可以表示。 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： { a } a a d , ： n 是等差数列，所以 n n 1 an 1 a n 2 d , an 2 a n 3 d , 只供学习与交流 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 a2 a1 d , 两边分别相加得 a n a1 d , 所以 a n a1 d { a } ： n 是等差数列，则有： a n a n 1 d a n 2 d d a n 2 2d a n 3 d 2d a n 3 3d …… a1 d 所以 a n a1 d 、例题讲解： 注意在 a n a1 d 中 n ，an ， a1 ，d 四数中已知三个可以求出另一个。 例 1、 判断下面数列是否为等差数列 . 例 2、 已知数列首项与公差 , 求通项公式 . 例 3、已知数列的其中几项 , 求其余各项 例 4、已知数列其中两项 , 求通项公式 . a b 关于等差中项： 如果 a, A, b 成 AP 则 2 证明：设公差为 d ，则 A a d b a 2d a b a a 2d
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