方向导数 方向导数和梯度是什么？

为什么梯度的方向是函数在该点方向导数最大的方向，梯度的模是方向导数最大的值？你看复习书的时候，有认真思考过这个问题吗？本文中，边肖以二元函数为例详细解释了方向导数和梯度，并试图用尽可能通俗的语言回答上述问题。

1.梯度

先看二元函数梯度的定义:

如果函数f(x，y)在域d中具有一阶连续偏导数，则对于域d中的每个点P(x0，y0)，存在以下向量:

老实说，边肖不明白梯度的定义为什么要加强，即函数f(x，y)在定义域内有一阶连续偏导数。有人说，如果有一阶连续偏导数，那么一定是可微的，那么梯度就可以和方向导数相关。这种说法是合理的，但可微性并不等同于一阶连续偏导数。虽然有些知识点在学习时没有很好的理解，但是一定要记住以定义为准。科学家之所以这样定义，一定有实践和理论上的考虑。

接下来，仔细看看渐变。函数f(x，y)在p点的梯度是向量，向量有大小和方向。p点函数梯度的方向和大小是多少？

这涉及到向量的加法，请看下图。下方图标的红色部分用矢量l表示，矢量l的方向是梯度的方向，矢量l的模是梯度的大小。

通过将上述公式引入方向导数的定义，我们可以得到:

从上述公式中，可以很容易地得出以下结论:

方向导数最大的方向，为梯度方向，最大方向导数是梯度的模。方向导数最小的方向，为梯度方向的反方向，最小方向导数是梯度的模的相反数。