介于 计算曲面积分,其中∑是介于平面Z=0和Z=H（H>0）之间的圆柱面x^2+y^2=R^2

题目：

计算曲面积分(如图),其中∑是介于平面Z=0和Z=H（H>0）之间的圆柱面x^2+y^2=R^2

解答：

设x=ρcosθ,y=ρsinθ那么x²+y²=ρ²＝R²原积分就变为∫（0到2π)∫(0到H) 1/(R²+z²）dzdθ= 2π ∫(0到H）1/(R²+z²) dz变为z的一次积分1/(R²+Z²)=1/R [arc tan(Z/R)]+C原积分等于2π/R [arc tan(H/R)]